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04-05-2高等数学（非电）期末考试真题及评分标准

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东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷）

课程名称高等数学（非电）考试学期04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟
题号一二三四五六七得分一. 填空题（每小题4分，共20分）
1．函数的间断点      是第     类间断点.
2. 已知是的一个原函数,且,则              .
3.        .
4. 设,则      .
5. 设函数,则当      时,取得最大值.
二. 单项选择题(每小题4分,共16分)
1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是                                                   [      ]
(A)   (B)   (C)   (D)
2. 曲线的渐近线共有                         [    ]                                                
(A) 1条          (B) 2条          (C) 3条          (D) 4条
3. 下列级数中收敛的级数是                                            [     ]
(A)    (B)    (C)     (D) 
4. 下列结论正确的是                                                 [     ]
若,则必有.
若在区间上可积,则在区间上可积.
若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.
若在区间上可积,则在内必有原函数.
三. (每小题7分,共35分)
1. .              2. 判断级数的敛散性.
3. .             4. .
5.  求初值问题     的解.
四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小.                                        

五.(7分) 设 ,求证    .
六.(7分) 设当时,可微函数满足条件

且,试证:当时,有          成立.
七.(7分) 设在区间上连续,且  ,
证明在区间内至少存在互异的两点,使.


04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准  05.1.14
填空题(每小题4分,共20分)
1. 0,一;  2. ;  3. ;  4. 1;  5. .
单项选择题(每小题4分,共16分)
1. A;    2.B;    3. D;    4.C.
(每小题7分,共35分)
1. 原式=

2.  
由比值法知原级数收敛.       
3. 原式 =
4. 原式
=
5. 对应的齐次方程的通解为  
非齐次方程的一个特解为,非齐次方程的一个特解为,原方程的通解为  
,利用初值条件可求得  , 原问题的解为


四.(8分) 

因此是在上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故是最小值点.
五.(7分) 设,原不等式等价于, 即等价于


,且等号当且仅当时成立  
因此单增,从而单增,,原不等式得证.  
六.(7分)由题设知,   
所给方程可变形
两端对求导并整理得      
这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得   
由于,得单减,而所以当时,  ,对 在上进行积分

七.(7分) 记,则在上可导,且
若在内无零点,不妨设
此矛盾说明在内至少存在一个零点
对在上分别使用Rolle定理知存在,使得即