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04-05-2高等数学(非电)期末考试真题及评分标准
PAGE 共 NUMPAGES 5 页 第 PAGE 1 页 学号 姓名 密 封 线 东 南 大 学 考 试 卷( A 卷) 课程名称高等数学(非电)考试学期04-05-2得分适用专业非电类各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟 题号一二三四五六七得分一. 填空题(每小题4分,共20分) 1.函数的间断点 是第 类间断点. 2. 已知是的一个原函数,且,则 . 3. . 4. 设,则 . 5. 设函数,则当 时,取得最大值. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ] (A) (B) (C) (D) 2. 曲线的渐近线共有 [ ] (A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 3. 下列级数中收敛的级数是 [ ] (A) (B) (C) (D) 4. 下列结论正确的是 [ ] 若,则必有. 若在区间上可积,则在区间上可积. 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有. 若在区间上可积,则在内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分) 1. . 2. 判断级数的敛散性. 3. . 4. . 5. 求初值问题 的解. 四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小. 五.(7分) 设 ,求证 . 六.(7分) 设当时,可微函数满足条件 且,试证:当时,有 成立. 七.(7分) 设在区间上连续,且 , 证明在区间内至少存在互异的两点,使. 04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. . 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. (每小题7分,共35分) 1. 原式= 2. 由比值法知原级数收敛. 3. 原式 = 4. 原式 = 5. 对应的齐次方程的通解为 非齐次方程的一个特解为,非齐次方程的一个特解为,原方程的通解为 ,利用初值条件可求得 , 原问题的解为 四.(8分) 因此是在上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故是最小值点. 五.(7分) 设,原不等式等价于, 即等价于 ,且等号当且仅当时成立 因此单增,从而单增,,原不等式得证. 六.(7分)由题设知, 所给方程可变形 两端对求导并整理得 这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 由于,得单减,而所以当时, ,对 在上进行积分 七.(7分) 记,则在上可导,且 若在内无零点,不妨设 此矛盾说明在内至少存在一个零点 对在上分别使用Rolle定理知存在,使得即